读书笔记:数学建模—问题、方法与案例分析

背景

最近在思考先进的产品设计方法背后的原理,数据驱动下的产品设计,不管是UI设计还是推荐策略,究其根本,是数学建模问题。

有目标函数,有约束条件,有自变量跟因变量,有函数关系,求解可行解,最优解,可行解等的过程。

所以,打算重新认真阅读学习一下,数学建模相关的知识。

具体说明

1、什么是数学建模

数学建模是人类应用定量思维的方式,探讨自然现象、社会现象、工程技术以及日常生活重的实际问题的过程。

2、数学建模一般分为几个阶段

数学建模一般分为两个阶段。

首先,分析现象和问题的演化过程,找出其中的关键因素,应用已知规律或者探索新规律建立这些因素之间的定量关系,这个关系即为数学模型

然后,应用合适的数学方法,求解数学模型,并将求解结果翻译回到实际问题,验证模型的有效性,并将结果最终应用于实际问题。

3、量化思想的核心元素-变量

要应用量化思想,必须弄清楚影响这个现象或事件的所有因素,数学上称这些因素为变量,有的是因变量,有的是自变量,有的学科称他们为解释变量跟非解释变量。一个现象或者事件重的变量有以下几种情形:

(1)要研究的自变量跟因变量都明确

(2)因变量明确,自变量不明确

(3)因变量不明确,自变量明确

(4)因变量跟自变量都不明确,复杂问题往往都是这种问题,建模就要从识别开始。

4、一个观点:现代知识结构来自三个方面:人与自然,人与社会,人与自身。我们所面临的问题一定是自然现象、社会现象、人类自身以及日常生活的问题所交织在一起的综合问题,决定这些问题的因素,即变量,常常不是单方面的。这些变量有的具有自然属性或者叫物质属性,有的具有精神属性或者称为社会属性或者人文属性。具有自然属性或者物质属性的变量容易被量化或者被称之为可度量的,如:高矮胖瘦等,具有精神属性、社会属性、人文属性的变量不易量化甚至不易确定,比如人的情绪,性格等,即使确定了变量,由于变量之间的逻辑关系或者定量关系微弱,没有深刻的洞察力也不容易察觉这种关系,这就是为什么自然科学容易被量化,而社会科学尤其是人文科学不容易被数学化的原因。

5、数学建模的步骤

数学建模的步骤可以分为 问题分析与假设、模型构建、模型求解、解的分析与检验、模型检验、模型的改进、论文写作、应用模型解决实际问题。

第一步,问题分析:抓住事件本质,揭示"理想状态",确定主要变量,做出合理假设,现实问题纷繁复杂,我们不可能在一个数学模型中抓住影响问题的所有因素,必须根据现状或者事件的特征和建模的目的,找出本质的因素,忽略次要的因素,对问题进行合理的必要的假设和简化,模型假设是否合理是评价一个模型优劣的关键因素之一,也是模型建立成败的关键所在,假设过于简单,或过于详细,都有可能使模型建立的不准确。如果确定主要变量,应该从以下三个方面主要来考虑:

(1)抓住事件本质,揭示"理想"状态,确定主要变量

(2)顺着主要因素,找出其他的相关因素,把这些因素作为变量列出来,完善变量体系(补充,里面最重要的是逻辑)

(3)忽略某些自变量

第二步,模型的构建,我们知道人们面对任何问题,有两种思维方式:一种是类比的思想,了解前人或自己过去是否处理过类似的问题,并借鉴已有方法来处理当前的问题,即通过某种"类比"过程,把要解决的问题,归结为已解决过或者易于解决的问题,数学中的类比思想无处不在,另外一种就是完全创新的思想了。

6、催生函数产生的源头问题与当今应用,苏格兰数学家格雷果里在1667年给出的函数的定义,被认为是函数解析定义的开始,公认的最早提出函数概念的学者是17世纪德国数学家莱布尼茨。函数就是量与量之间的相互依赖关系,函数概念是从运动的研究中引申出来的。一些有意思的函数如下

开普勒第三定律:T=CR^(3/2),T是行星的运行周期(天数),R是行星到太阳的平均距离。

波义耳定律:一定量的理想气体的压强P,体积V和绝对温度T之间具有关系:P=RT/V,R是普适气体常量

胡可定律:一个线性弹簧的形变x与弹力F之间的关系:F=-Kx

牛顿万有引力:考虑两个物体之间的相互作用时,对于他们之间的相互吸引的属性,可以用数学式子F=k(m1m2)/r^2 来表示引力与其他因素之间的关系。

欧姆定律:同一电路中,通过某一导体的电流I跟这段导体两端的电压成正比,跟这段导体的电阻成反比,U=IR

生活琐事 2020-12-16
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